Funcions - 2019 - Juny - sèrie 1 - 4

2019 - Juny - sèrie 1 - 3. La funció `f(x)=40/(x^2-22x+125)` mostra aproximadament la venda diària, en milers d'unitats, d'un perfum de moda en funció de `x`, en que `x` és el dia del mes de febrer a) Quantes unitats de perfum es van vendre, aproximadament, el dia 5 de febrer? Quin és l’increment de vendes entre el dia 7 i el dia 9 de febrer? [0,75 punts] b) Quin dia del mes de febrer es van vendre més perfums i quantes unitats se’n van vendre? [1,25 punts] SOLUCIÓ: a) Cal buscar la imatge del 5, `f(5)=40/(5^2-22·5+125)=1` 1000 unitats Per calcular l'increment de vendes entre el 7 i el 9 cal buscar la imatge de cada nombre i restarles. Increment `= f(9)-f(7) = 40/(9^2-22·9+125) - 40/(7^2-22·7+125) = 3` Increment de 3000 unitats b) Per trobar le màxim cal igualar la derivada a `0`. Per calcular la derivada podem fer la derivada d'un quocient. `f'(x)=(0·(x^2-22x+125)-40·(2x-22))/(x^2-22x+125)^2=(-80x+880)/(x^2-22x+125)^2` Si ho igualem a `0` i reolem l'equaicó. Recordem que un quocient només pot ser `0` si ho és el numerador. `-80x+880=0 => 880=80x => x=880/80=11` dia `11` de febrer I per saber quantes unitats es van vendre sezillament calculem `f(11)=40/(11^2-22·11+125)= 10 =>` Es van vendre 10000 unitats Per demostrar que és un màxim no necessitem calcular la segona derivada ja que si calculem: `\lim_{x\to +\infty} 40/(x^2-22x+125)=0` Vol dir que a la dreta del màxim les imatges són més petites que la imatge de `f(11)=11` i a l'esquerra també són més petites ja que hem vist que `f(5)=1`. `f(5)` `f(11)` `lim_{x\to +\infty} 40/(x^2-22x+125)` `1` `10` `0`